"...вечно куда-то спешат, ни минуты свободного времени... некогда ни присесть, ни подумать, а если в сплошном потоке их развлечений и покажется небольшой просвет - тут как тут сома, прекрасная сома...",- писал известный английский писатель Олдос Хаксли.
Китайская головоломка танграм, известная вот уже несколько тысячелетий, представляет собой квадрат из какого-нибудь тонкого материала, определенным образом разрезанный на семь частей (подробнее о танграме см. в главе 23). Игра заключается в том, что из семи элементов складывают различные фигурки. Время от времени предпринимались попытки создать трехмерные аналоги танграма, но ни одна из них не может сравниться с кубиками сома, изобретенными датчанином Питом Хейном, о чьих математических играх гексе и так-тиксе мы уже рассказывали.
Кубики сома Пит Хейн придумал во время лекции Вернера Гейзенберга по квантовой механике. Пока знаменитый физик говорил о пространстве, разрезанном на кубики, живое воображение Пита Хейна подсказало ему формулировку любопытной геометрической теоремы: если взять все неправильные фигуры, которые составлены из трех или четырех кубиков, склеенных между собой гранями, то из них можно составить один кубик большего размера.
Поясним сказанное. Простейшая неправильная фигура - "неправильная" в том смысле, что на ней имеются выступы и впадины,- получится, если склеить три кубика так, как показано на рис. 115, 1. Это единственная неправильная фигура, которую можно построить из трех кубиков (из одного или двух кубиков, очевидно, нельзя составить ни одной неправильной фигуры). Взяв четыре кубика, мы сможем построить шесть различных неправильных тел. Они изображены на рис. 115, 2-7. Чтобы как-то отличать построенные фигуры, Хейн перенумеровал их. Все семь неправильных фигур попарно различны, хотя фигуры 5 и 6 совмещаются при зеркальном отражении. Хейн обратил внимание на то, что, склеивая два куба, мы увеличиваем протяженность тела лишь в одном направлении. Чтобы увеличить протяженность тела в другом направлении, нам нужен еще один, третий кубик. Четыре кубика позволят увеличить протяженность тела в трех направлениях. Поскольку, даже взяв пять кубиков, мы не увеличим размерность фигуры до четырех, набор кубиков сома разумно ограничить семью фигурами, изображенными на рис. 115. Совершенно неожиданно выяснилось, что из этих семи элементов можно сложить один большой куб.
Тут же на лекции Гейзенберга Пит Хейн прикинул на листке бумаги, что из семи элементов, склеенных из 27 маленьких кубиков, можно составить куб размером 3×3×3. После лекции он склеил из 27 кубиков свои семь элементов и быстро убедился в правильности своей догадки. Фирмы, занимающиеся производством игрушек, выпустили кубики Хейна в продажу под названием "Сома". Составление фигурок из семи неправильных элементов весьма популярно в скандинавских странах.
Чтобы самому сделать кубики для игры сома - а мы настоятельно рекомендуем эту игру своим читателям, она понравится всем,- достаточно взять самые обыкновенные детские кубики и из них склеить все семь элементов. По сути дела, игру сома можно рассматривать как трехмерный вариант полиомино, о котором мы уже рассказывали.
В качестве введения в искусство игры сома попробуйте сложить из любых двух элементов ступенчатую фигуру, изображенную на рис. 116. Справившись с этой элементарной задачей, попытайтесь собрать из всех семи элементов куб. Один из читателей составил список более 230 различных решений (не считая тех, которые получаются при поворотах и отражениях куба), но точное число всех решений пока неизвестно. При составлении куба выгодно сначала брать более неправильные элементы (5, 6 и 7 на рис. 115), поскольку заполнять образовавшиеся пустоты остальными элементами не так уж сложно. В частности, элемент 1 лучше всего брать последним.
Построив куб, испытайте свои силы в складывании более сложных фигур, показанных на рис. 117. Действуя методом проб и ошибок, вы потеряете много времени. Разумнее, проанализировав конструкции,ускорить строительство. В этом вам поможет ваше геометрическое воображение. Например, элементы 5, 6 и 7 не могут служить ступеньками, ведущими к "колодцу". Изготовив несколько наборов для игры сома, вы сможете проводить соревнования. Победителем считается тот, кто быстрее других сложит заданную фигуру. Во избежание споров о том, как должна выглядеть та или иная фигура, следует сказать, что задние стороны "пирамиды" и "парохода" выглядят точно так же, как передние стороны этих фигур; углубление в "ванне" и шахта "колодца" имеют объем, равный трем кубикам; на задней стене "небоскреба" нет ни выступов, ни углублений, а столик, образующий заднюю часть головы "собаки", состоит из четырех кубиков (самый нижний кубик на рисунке не виден).
Провозившись несколько дней с необычными кубиками, многие настолько осваиваются с их формой, что при составлении новых фигур сома могут производить все необходимые действия в уме. Тесты, проведенные европейскими психологами, показали, что между способностью решать головоломки с кубиками сома и общим уровнем развития имеется определенная корреляция, но на обоих концах кривой, характеризующей умственное развитие, возможны сильные расхождения. Некоторые гении оказываются совершенно неспособными к игре, и, наоборот, у некоторых умственно отсталых индивидуумов сильно развита именно та разновидность пространственного воображения, которая требуется для игры сома. Интересно, что каждый, кто подвергается такому тесту, с удовольствием продолжает игру и после его окончания.
Так же как и двумерные полиомино, конструкции кубиков сома связаны с интереснейшими теоремами комбинаторной геометрии, в частности с доказательством невозможности того или иного построения. Рассмотрим левую фигуру на рис. 118. Построить ее не удалось никому, но лишь недавно было строго доказано, что составить ее из кубиков сома действительно невозможно. Мы приведем здесь это остроумное доказательство, принадлежащее Соломону В. Голомбу.
Прежде всего перерисуем вид сверху фигуры, изображенной на рис. 118 слева, и раскрасим столбики (при рассмотрении сверху каждый столбик "скроется" под гранью своего верхнего кубика) в шахматном порядке. В каждом столбике, за исключением центрального, по два кубика. Центральный столбик построен из трех кубиков. Всего в фигуре 8 белых кубиков и 19 черных. Удивительная асимметрия!
Следующий этап доказательства заключается в том, что для каждого из семи элементов игры сома находят такую ориентацию, при которой этот элемент, если поместить его под наш шахматный трафарет, будет обладать максимальным числом черных кубиков. Максимальное число черных кубиков для каждого элемента указано в таблице. Как видно из нее, всего имеется 18 черных и 9 белых кубиков, то есть для соотношения 19:8, характеризующего нашу фигуру, не хватает лишь одного черного кубика. Если верхний черный кубик передвинуть на любой из белых столбиков, то соотношение черных и белых кубиков станет равным 18:9. Такую фигуру можно построить.
Должен признаться, что одну из фигур, изображенных на рис. 117, нельзя составить из элементов игры сома, однако, для того чтобы найти ее, читателю придется потратить не один день. Ниже мы не будем останавливаться на способах построения остальных фигур, изображенных на рис. 117 (овладение искусством составления таких фигур - лишь вопрос времени), но укажем ту, которую нельзя построить.
Число забавных фигурок, которые можно составить из семи элементов сома, по-видимому, так же неограниченно, как число плоских фигур, выложенных из семи элементов танграма. Интересно заметить, что если отложить элемент 1, то из шести остальных элементов можно составить фигуру в точности такой же формы, что и элемент 1, но вдвое больших размеров.
Написав заметку об игре сома, я предполагал, что лишь немногие читатели возьмут на себя труд изготовить полный набор ее элементов, и жестоко ошибся. Тысячи читателей прислали зарисовки новых фигур игры сома, а многие писали, что их досуг стал проходить значительно интереснее с тех пор, как их "укусила муха сома". Учителя изготовляли наборы кубиков сома для своих классов, психологи включили составление фигур из них в число своих тестов. Поклонники кубиков сома изготовляли наборы из семи элементов для своих друзей, попавших в больницу, для знакомых в качестве рождественского подарка. Фирмы, занимающиеся производством игрушек, стали интересоваться правами на изготовление кубиков сома. На прилавках магазинов игрушек появились наборы деревянных кубиков сома.
На рис. 119 показаны 12 из многих сотен новых фигур, присланных читателями. Все 12 фигур действительно можно построить.
На мой взгляд, популярность кубиков сома связана с тем, что в этой игре используется только семь элементов и играющий не подавлен чрезмерной сложностью. Невольно напрашивается мысль о создании других игр, использующих большее число элементов. Описанию таких игр посвящены многие из полученных мной писем.
Т. Кацанис предложил набор из восьми различных элементов, которые можно составить из четырёх кубиков. В его набор входят шесть элементов кубиков сома плюс цепочка из четырех склеенных подряд кубиков и квадрат 2×2. Кацанис назвал свою игру квадракубиками. Позднее другими читателями были предложены тетракубики. Из восьми квадракубиков нельзя построить куб, но их можно расположить вплотную друг к другу так, что они будут образовывать прямоугольный параллелепипед размером 2×4×4, вдвое больший квадратного тетракубика. Аналогичным образом можно составить и увеличенные модели остальных семи элементов.
Кацанис также обнаружил, что восемь элементов придуманной им игры можно разделить на две группы по четыре элемента в каждой, так что из элементов каждой группы можно будет построить прямоугольный параллелепипед 2×4×4. Комбинируя эти параллелепипеды, можно построить увеличенные модели шести из восьми исходных элементов.
Если взять трехмерные пентамино, составленные не из квадратов, а из единичных кубов, то из двенадцати элементов можно построить прямоугольный параллелепипед 3×4×5. Из трехмерных пентамино можно сложить прямоугольные параллелепипеды 2X5X6 и 2×3×10.
Следующая по сложности игра - складывание фигур из 29 элементов, построенных из пяти кубиков. Ее также придумал Кацанис. Он предложил назвать эту игру пентакубиками. Шесть пар пентакубиков переходят друг в друга при отражениях. Взяв по одному элементу из каждой пары, мы понизим число элементов в полном наборе до 23. И 29, и 23 - простые числа, поэтому, какой бы набор пентакубиков мы ни взяли, полный или малый, нам все равно не удастся построить прямоугольный параллелепипед. Кацанис сформулировал задачу утроения: выбрав один из 29 элементов, построить из остальных 28 втрое большую его модель.
Изящный набор пентакубиков прислал Д. Кларнер . Вытряхнув их из коробки, в которую они были упакованы, я так и не смог (до сих пор) уложить их обратно. Кларнер потратил много времени на конструирование необычных фигур из пентакубиков, немало времени пришлось потратить и мне, чтобы воспроизвести некоторые из них. Он также сообщил мне, что существует 166 гексакубиков (фигур, получаемых при склеивании шести кубиков), но был так любезен, что их набора мне не прислал.
Ответы
Единственная фигура на рис. 117, которую нельзя построить из семи элементов кубиков сома,- небоскреб.
Тема урока: “Геометрическое конструирование из кубиков”.
Тип урока: урок-практикум.
Технология: проектная.
Оборудование: компьютерный класс, проекционное оборудование.
Дополнительные материалы: разноуровневые карточки-задания, заготовка к карточкам в электронном виде.
Цели урока: закрепить навыки использования графического редактора, продемонстрировать возможности использования PAINT в геометрическом моделировании, конструировании объемных фигур.
Задачи урока:
- Воспитательная – развитие познавательного интереса, воспитание информационной культуры, аккуратности при выполнении задания.
- Учебная – повторить и закрепить основные навыки работы с графическим редактором и
- Развивающая – развитие логического мышления, пространственного воображения, творческих способностей учащихся.
ХОД УРОКА
I. Оргмомент
II. Повторение изученного на предыдущем уроке. Фронтальный опрос
– Окружающие нас предметы имеют объемную форму. Одна из любопытных, красивых и в то же время самая “знакомая” нам с самого детства объемная фигура – куб или, как мы его ласково называем – кубик . Кто из нас в детстве не играл в кубики, не строил замки и пирамиды из деревянных, пластмассовых, больших и маленьких кубиков!?
– Кто может ответить на вопрос – чем отличается квадрат от кубика?
– Что можно сделать из квадратов? А из кубиков?
– Как можно назвать построение из простых фигур более сложных? (Конструирование, моделирование)
– А как называют людей, которые таким делом заняты? (Конструкторы, моделисты)
– Каким приемом мы пользовались при составлении мозаики и при конструировании плоских изображений из квадратов? (Копирование)
– Какие действия выполняем для копирования?
- выделить фрагмент, Правка – Копировать;
- правой кнопкой, через контекстное меню;
- с помощью клавиатуры.
– Что такое буфер обмена?
III. Практическая работа по конструированию объемных фигур
Обсуждение примера, представленного на доске (проекторе)
Выводим правила конструирования из кубиков, пытаясь выполнить задание на компьютере самостоятельно.
Эти правила:
- Перед началом конструирования определите, сколько рядов в высоту занимает конструкция.
- Начинайте построение с нижнего ряда, надстраивая верхние ряды.
- Важное правило для выполнения практической работы – создать дубликат кубика, сохранив нетронутым оригинал!
IV. Работа с карточками-заданиями разного уровня сложности
Задача состоит в создании конструкции и подсчете количества кубиков для построения. Для выполнения заданий в папке обмена на компьютерах учащихся уже имеется заготовка кубика. Учащиеся копируют ее в свою рабочую папку и по желанию могут перекрасить заготовку на свое усмотрение. Учитель по ходу выполнения задания отмечает учащихся, которые увидели повторяющие фрагменты в объемной фигуре и при конструировании используют копирование сразу целых блоков конструкции.
V. Подведение итогов
Критериии оценивания
- наиболее аккуратная работа (учитывается точность подсчета кубиков);
- кто сумел выполнить больше всех конструкций.
VI. Домашнее задание
- Нарисовать “интересную” композицию из кубиков.
- Конструирование собственной конструкции. Придумать ее назначение, название. Оформить на отдельном листе.
Критерии оценивания домашнего задания: фантастичность, аккуратность, сложность, конструкция содержит больше всего кубиков, объемность конструкции.
Примеры карточек-заданий
1. Составьте композицию 1 из кубиков:
Не забывайте правила:
- Построения в рядах следует вести слева направо, с заднего плана продвигаясь к переднему.
2. Составьте композицию 2 из кубиков:
Не забывайте правила:
- Начинайте построение с нижнего ряда, надстраивая верхние.
- Построения в рядах следует вести слева направо, с заднего плана продвигаясь к переднему.
- “Быстрое” копирование фрагмента можно выполнять с помощью клавиши Ctrl
3. Составьте композицию 3 из кубиков:
Не забывайте правила:
- Начинайте построение с нижнего ряда, надстраивая верхние.
- Построения в рядах следует вести слева направо, с заднего плана продвигаясь к переднему.
- “Быстрое” копирование фрагмента можно выполнять с помощью клавиши Ctrl
4. Составьте композицию 4 из кубиков:
Не забывайте правила:
- Начинайте построение с нижнего ряда, надстраивая верхние.
- Построения в рядах следует вести слева направо, с заднего плана продвигаясь к переднему.
- “Быстрое” копирование фрагмента можно выполнять с помощью клавиши Ctrl
5. Составьте композицию 5 из кубиков:
Не забывайте правила:
- Начинайте построение с нижнего ряда, надстраивая верхние.
- Построения в рядах следует вести слева направо, с заднего плана продвигаясь к переднему.
- “Быстрое” копирование фрагмента можно выполнять с помощью клавиши Ctrl
6. Составьте композицию 6 из кубиков:
Не забывайте правила:
- Начинайте построение с нижнего ряда, надстраивая верхние.
- Построения в рядах следует вести слева направо, с заднего плана продвигаясь к переднему.
- “Быстрое” копирование фрагмента можно выполнять с помощью клавиши Ctrl
7. Составьте композицию 7 из кубиков:
Не забывайте правила:
- Начинайте построение с нижнего ряда, надстраивая верхние.
- Построения в рядах следует вести слева направо, с заднего плана продвигаясь к переднему.
- “Быстрое” копирование фрагмента можно выполнять с помощью клавиши Ctrl
8. Составьте композицию 8 из кубиков:
Не забывайте правила:
- Начинайте построение с нижнего ряда, надстраивая верхние.
- Построения в рядах следует вести слева направо, с заднего плана продвигаясь к переднему.
- “Быстрое” копирование фрагмента можно выполнять с помощью клавиши Ctrl
Под геометрической фигурой подразумевается геометрическое тело (конус, цилиндр, шар, тор, призма, пирамида или их сочетание), в котором имеются призматические или цилиндрические углубления или отверстия;
Деталь – изделие, изготовленное из однородного по наименованию и марке материала без применения каких-либо сборочных операций.
Термин геометрическая фигура обычно используется в разделе «Проекционное черчение», а термин деталь – в разделе «Машиностроительное черчение» курса «Инженерная графика».
Размеры геометрических фигур и деталей, которые наносят на ортогональный чертеж этих объектов, имеют общепринятые наименования.
По своему виду размеры разделяются на линейные (длина, ширина, высота, размер радиуса, диаметра объекта или его элемента) и угловые размеры.
Размеры геометрической фигуры или детали, состоящей из нескольких геометрических тел (иногда называемых формами), подразделяются на размеры формы , определяющие основные размеры конкретного элемента объекта, и координирующие размеры, определяющие положение данной элемента по отношению к другим элементам, входящим в объект.
Частным случаем координирующих размеров являются габаритные размеры – наибольшие размеры по длине, ширине и высоте геометрической фигуры или детали.
Обычно детали состоят из простейших геометрических фигур. К таким фигурам относятся тела вращения и многогранные тела (рис. 21). Каждое из указанных тел в дальнейшем будет называться элементом наружной формы детали.
На рис. 22 показаны чертежи тел вращения и нанесены их размеры формы. Например, шар имеет всего один размер формы (рис. 22,а ) – диаметр (или радиус). При этом нанесен сопутствующий знак сферы (○). Цилиндр – два размера формы: диаметр и длину (см. рис. 22, б ). У конуса (см. рис. 22, в ) должно быть нанесено два размера формы, один из которых должен быть угловым, а второй линейным (диаметр основания или высота конуса). Для усеченного конуса проставляются три размера формы, один из которых должен быть угловым (см. рис. 2, г ) или размером конусности (см. рис. 2, д ). Для тора в форме галтели обычно проставляются размеры, показанные на рис. 22, з .
Размеры формы многогранных тел показаны на рис. 23.
Деталь или геометрическая фигура могут иметь также элементы внутренней формы. Чаще всего таковыми являются поверхности, образованные вычитанием из объёма исходного тела другого объёма цилиндрической, сферической, тороидальной или призматической формы. К элементам внутренней формы могут относиться также тела (например, перегородки, расположенные внутри детали).
Кроме размеров формы на чертеже наносятся координирующие размеры. Для шара такими являются размеры, определяющие положение его центра. Для цилиндра, конуса или тора координирующие размеры определяют положение оси и одного из торцов фигуры. У многогранных тел координирующие размеры определяют положение одной из граней.
Рассмотрим это на примере тела, состоящего из двух пересекающихся цилиндров (рис. 24). Здесь для каждого цилиндра проставлены по два размера формы – длина и диаметр. Оставшиеся два размера (линейный -25 мм и угловой - 45 ) являются координирующими. Они определяют взаимное расположение осей цилиндров.
Многие конструктивные элементы наружной и внутренней формы детали имеют устоявшиеся наименования.
Например, конический элемент на торце круглой детали (рис. 25) называется фаской , плавный переход между двумя цилиндрическими участками детали называется галтелью . Призматический выступ, ограничивающий вращение детали вокруг своей оси в подвижном соединении с другой деталью, называется шипом . Кольцевое углубление цилиндрической или тороидальной формы для вставки в него уплотняющего изделия называется канавкой . Плоский элемент на цилиндрической поверхности называется лыской . Элемент внутренней формы может быть назван углублением, отверстием, пазом и др.
У литых деталей (рис. 26) часто встречается следующие конструктивные элементы: фланец - элемент призматической, цилиндрической, овальной или иной формы, предназначенный для присоединения к аналогичному элементу другой детали;
ребро
жёсткости
– элемент усиления конструкции детали;
бобышка
– выступ, торцевая плоскость которого
подвергается механической обработке
для обеспечения плотного соприкосновения
с другими деталями; литейное
скругление
– плавный переход между элементами,
имеющий форму тора или цилиндра;
привалочная
плоскость
– механически обработанная плоскость,
по которой происходит плотное прилегание
к другой детали.
У элемента детали, содержащего наружную или внутреннюю резьбу, часто встречается цилиндрическая проточка – конструктивный элемент, обеспечивающий навинчивание ответной детали до упорной плоскости.
Перед нанесением размеров детали необходимо выполнить структурный анализ объекта – т. е мысленно разбить его на простейшие геометрические формы. Далее следует нанести размеры отдельных форм (см. рис. 22, 23). В заключение наносятся координирующие размеры, определяющие взаимное расположение форм.
Р
ассмотрим
это на примере литой корпусной детали
(рис. 27). Анализ элементов внешней
формы этой детали представлен на
рис.
28. Здесь можно выделить шар (поз.1
),
два цилиндра (поз. 2
),
конус (поз. 3
),
два призматических элемента (поз. 5
).
Кроме этого к элементам внешней формы
следует отнести четыре цилиндрических
скругления углов призматического фланца
(поз. 2
)
и литейные скругления зон переходов
шар – конус и шар – цилиндр (поз. 4
).
Анализ элементов внутренней формы детали показан на рис. 29.
22
Здесь можно выделить сферу (поз. 1
),
восемь цилиндрических поверхностей
(поз. 2
),
образующих отверстия и углубление;
коническую поверхность (поз. 3
);
поверхность тора (поз. 4
).
Кроме этого имеются три призматических
тела, образующих внутренние перегородки
(поз. 5
)
и цилиндрические скругления углов
перегородок, показанные на рис. 27.
Выполнив структурный анализ детали, можно перейти к нанесению размеров элементов её внешней и внутренней формы.
На рис. 30 показан чертёж элементов внешней формы рассматриваемой детали. Он состоит из трёх видов: спереди (главное изображение), сверху и слева. Размеры формы элементов внешней формы нанесены в соответствии с рис. 22 и 23.
Координирующие размеры элементов вешней формы выделены надчеркиванием размерных надписей. Из них вертикальный размер 75 определяет положение верхней грани призматического элемента относительно центра шара. Аналогично горизонтальный размер 80 определяет положение левой грани правильной шестиугольной призмы. Горизонтальный размер 60 и вертикальный габаритный размер 125* определяют положение оси тора.
Отметим особенность нанесения размеров формы чередующихся элементов – не все размеры этих элементов задаются в явной форме. Рассмотрим это на примере трёх последовательно соединенных элементов внешней формы: правильная шестиугольная призма, цилиндр и шар (см. поз. 5, 2, 1 на рис. 28). Размеры призмы и шара заданы в соответствии с рис. 22 и 23, а у цилиндра нет размера длины. Однако эта длина определяется координирующим размером 80 , высотой призмы
(горизонтальный размер20 ) и радиусом шара – размер ○R 50 (см. рис. 30).
Аналогично обстоят дела при нанесении размера длины второго цилиндра 60 , примыкающего к тору, а также конуса.
На рис. 31 показан чертёж, где нанесены размеры элементов внутренней формы детали. Координирующие размеры здесь выделены подчёркиванием размерных надписей. Эти размеры определяют положение призматических перегородок относительно центра шара.
Особенностью нанесения размеров литых деталей является задание толщины стенки элемента. В этом случае необходимо задать лишь размеры элементов наружной формы, а размеры аналогичных элементов внутренней формы могут быть подсчитаны вычитанием из размеров внешней формы толщины стенки.
И
ногда,
по конструктивным соображениям задают
лишь размеры элементов внутренней формы
детали и толщину её стенки.
Аналогичный приём применяют и при нанесении размеров штампованных деталей.
На рис. 32 показан чертёж корпуса крана. Он состоит из четырёх изображений: фронтального разреза, вида сверху с обрывом изображения и двух вынесенных сечений (А-А и Б-Б ),
где нанесены размеры элементов внешней внутренней формы детали. Размеры элементов внутренней формы сосредоточены на разрезах (фронтальном разрезе и разрезе Б – Б ).
Важным моментом в нанесении размеров изделия является использование конструкторских баз .
В соответствии с ГОСТ 21495-75 база – это поверхность (или сочетание поверхностей), ось или точка, принадлежащие заготовке или изделию и используемые для базирования.
Базирование – это придание заготовке или изделию требуемого положения относительно выбранной системы координат или других изделий.
В зависимости от этапа создания изделия различают базы:
конструкторскую, технологическую и измерительную.
Конструкторская база используется на стадии проектирования изделия для определения положения детали или сборочной единицы в изделии.
Технологическая база используется на стадии изготовления изделия, а измерительная база применяется для контроля готового изделия.
Не вдаваясь в подробности, отметим, что между указанными базами нет чётких границ: одна и та же база может быть как конструкторской, так и технологической или измерительной. Поэтому далее используется лишь понятие конструкторской базы.
К
онструкторская
база
может
быть основной
или вспомогательной.
Основной называется конструкторская база, принадлежащая детали или сборочной единице и используемая для определения её положения в изделии (сборочной единице).
Вспомогательной называется конструкторская база, принадлежащая детали или сборочной единице и используемая для определения положения присоединяемого к ней изделия.
В общем случае за конструкторскую базу может быть принята плоскость (поверхность), прямая линия или точка . Например, на чертеже корпуса крана (см. рис. 32) за такую базу
принята верхняя (привалочная) плоскость фланца (относительно неё проставлены вертикальные размеры 10 и 75 ), а также торцевая плоскость правильной шестиугольной призмы (относительно неё проставлены горизонтальные размеры 42, 18, 20, 80, а также размер фаски).
Кроме этого за конструкторскую базу принята вертикальная ось вращения элементов шар, конус (относительно неё проставлены горизонтальные размеры 24, 27, 80, 43, 60 ).
Наконец, за конструкторскую базу принята точка - центр шара (относительно неё проставлены вертикальные размеры 3, 75 и горизонтальные размеры 24, 27, 80, 43, 60 ).
Одна из трёх перечисленных баз может быть принята за основную базу (например, центр шара), а остальные базы будут являться вспомогательными. Выбор основной конструкторской базы осуществляет конструктор на стадии проектирования изделия, исходя из анализа работы изделия в условиях эксплуатации, удобства измерения размеров изделия, получения необходимой точности соединения его с другими изделиями в сборочной единице и по другим соображениям.
Выбор вспомогательных конструкторских баз часто обусловлен технологическим процессом изготовления элементов изделия (проточек, канавок, пазов и др.) и удобством контроля этого процесса.
Рассмотрим применение конструкторских баз на примере круглых деталей – валиков (рис. 33). Каждый из валиков представлен в виде совокупности цилиндрических и конических элементов. Конические элементы называются фасками. На правом цилиндрическом участке каждого валика нарезана метрическая резьба номинального диаметра 27 мм с мел-
ким шагом 1,5 мм (М 27 1,5 ). На валике (а ) резьба выполнена с недорезом, а на валике (б ) - с цилиндрической проточкой. Кроме этого у рассматриваемых деталей различаются формы шпоночных пазов.
На рис. 34 приведены чертежи этих деталей, где показаны
конструкторские базы. За основную базу принята плоскость - правый торец детали (поз. 1 ), а за вспомогательную базу принят торец соответствующего цилиндра, примыкающий к проточке (поз. 2 ). Относительно основной конструкторской базы
проставлено наибольшее количество горизонтальных линейных размеров детали, а относительно вспомогательной базы проставлена ширина проточки и размер фаски.
На указанных чертежах следует обратить внимание на следующие особенности:
а) различия в нанесении размера длины резьбового участка, имеющего недорез резьбы (горизонтальный размер 16 ) или цилиндрическую проточку (разность размеров 20 и 4 );
б) различия в изображениях шпоночного паза: поперечное сечениеА-А элемента детали, содержащего паз – для одного
варианта и местный разрез зоны паза и условное изображение овальной формы паза - для другого варианта;
в) различия в несении размеров шпоночных пазов. Глубина паза может быть задана неявно, как остаточная толщина цилиндрического участка детали после фрезерования паза (см. горизонтальный размер 35 в сечении А-А ) или явно относительно образующей цилиндрической поверхности (см. вертикальный размер 5 на рис. 33, б ).
г) шахматный порядок в нанесении размерных надписей вертикальных размеров; д) нанесение размера диаметра цилиндрического элемента детали как вне изображения (см. на рис. 33, а вертикальные размеры 40, 44 ) так и внутри изображения этого элемента (вертикальный размер 34 ) или со смещением на изображения соседнего более длинного элемента (вертикальны размер 28 ).
На рис. 35 показана деталь, именуемая накидной гайкой. Она имеет внутреннюю резьбу с проточкой.
На рис. 36 приведен чертеж этой детали. Здесь нет координирующих размеров, а за основную конструкторскую базу
принят правый торец детали. Ширина проточки отсчитывается от вспомогательной размерной базы.
Следует обратить внимание на нанесение размеров фаски на шестиугольной призме (угловой 30 и вертикальный 50 ).
У
казанные
размеры сгруппированы и нанесены только
на одном из двух одинаковых элементов.
Кроме этого отметим особенность нанесения линейных размеров с обрывом размерной линии (размеры 12 ; 42,7 ; М42 1,5 ) - оборванная размерная линия изображена больше своей половины.
На рис. 37 показана деталь под названием крышка сальника. Наружная форма этой детали содержит призматические и цилиндрические элементы, а внутренняя форма – цилиндрические поверхности и конический элемент.
Н
а
рис. 38 приведен чертеж крышки. Здесь за
основную конструкторскую базу принята
ось вращения центральных элементов
детали, а за вспомогательную базу -
верхняя плоскость фланца. Большинство
нанесённых размеров является размерами
формы соответствующего элемента детали.
Координирующим здесь является
горизонтальный размер60
-
межцентровое
расстояние.
Габаритный размер 80, обозначенный на чертеже знаком * (звёздочка) называется справочным . Его соблюдение по заданному чертежу является необязательным.
На рис. 39 показана деталь под названием шпиндель, на цилиндрическом элементе которой имеется нестандартная резьба прямоугольного профиля. Рассматриваемая деталь имеет лишь элементы внешней формы: торцевой сферический сегмент, четыре цилиндрических участка, на одном из которых нарезана резьба прямоугольного профиля, торообразную канавку и призматический элемент квадратного поперечного сечения.
На рис. 40 показан чертеж указанной детали. Здесь за основную конструкторскую базу принята точка – оконечность сферического сегмента, а за вспомогательную базу - плоскость – торец призматического элемента.
На рассматриваемом чертеже следует обратить внимание на следующие особенности:
а) координирующий горизонтальный размер 10 определяет положение канавки;
б) шахматный порядок нанесения размерных надписей вертикальных размеров 16 и 20;
в) прерывание контурной линии в месте её пересечения со стрелкой размераR 20;
г
)
незамыкание горизонтальных размеров
25 и 60 на габаритный размер160
;
д) отсутствие разрыва размерной линии габаритного размера и размера длины цилиндрического элемента, показанного с разрывом (горизонтальные размеры160 и 60 );
е) использование выносного элемента А для нанесения размеров резьбы.
На рис. 41 показан чертёж плоской детали. Здесь следует обратить внимание на нанесение координирующих размеров 56 и 64 , определяющих взаимное расположение одинаковых элементов (отверстий 4 ), а также
толщины плоской детали.
В заключение рассмотрим структурный анализ и нанесение на чертеже размеров сложной литой корпусной детали.
На рис. 42 показаны элементы внешней формы этой детали, а на рис. 43 – элементы её внутренней формы.
С
точки зрения нанесения размеров
наибольшую сложность здесь представляют
элементы, имеющие форму тора и циклических
поверхностей (см. на обоих рисунках поз.3, 1
и 4
соответственно).
На рис. 44 показан чертёж этой детали. Здесь имеются три изображения: фронтальный разрез (главное изображение), сочетание вида слева с профильным разрезом А-А , и вынесенное сечение Б-Б .
При нанесении размеров следует обратить внимание на следующие особенности:
а) координирующими размерами горизонтальным - 13 , нанесённым на главном изображении, и вертикальным - 40 , нане-
сённым на профильном разрезе, определяется положение оси наружной и внутренней поверхностей тора. РадиусR 16 образующей окружности наружного тора показан на виде слева. Левая граница тора условно показана на главном изображении тонкой линией, расположенной под углом 30 к вертикальной центровой линии тора.
Слева от тора располагаются наружная и внутренняя циклические поверхности, у которых переменными являются радиус образующей окружности и положение плоскости этой окружности. Центры указанных окружностей перемещаются по прямой линии. Левой границей наружной циклической поверхности является окружность 40 мм, внутренней - окружность 24 мм. Указанные размеры проставлены на главном изображении;
б) положение линии центров других циклических поверхностей – наружного и внутреннего эллиптических цилиндров (см. на рис. 42 и 43 поз. 1 ) определяется координирующими размерами: угловым - 35 горизонтальным - 22 (нанесён на главном изображении справа) и вертикальным – 40 (нанесён на профильном разрезе). Диаметр образующей окружности (24 ) внутреннего эллиптического цилиндра нанесён на главном изображении, справа;
в) размеры цилиндрических элементов, на одном из которых нарезана трубная резьба (размер G 1 ) сгруппированы и нанесены один раз на главном изображении, слева.
г) прерывание осевой линии чертежа в месте её пересечения с размерной надписью (см. на главном изображении горизонтальный размер 26 );
д) прерывание линии контура в месте её пересечения со стрелкой размерной линии (см. на главном изображении вертикальные размер 18 );
е) размеры элементов внешней формы детали наносятся со стороны вида (см. вертикальные размеры 5, 45, 50, 72 на поло-
вине вида слева), а размеры элементов внутренней формы – со стороны разреза (см. вертикальные размеры 15, 40, 43, 49 на половине профильного разреза);
ж) в технических требованиях запись: «Неуказанные скругления R 4»,- определяет радиусы литейных скруглений, а запись «* Размеры для справок »,- справочные размеры;
з) за основную конструкторскую базу принят верхний торец детали. Относительно этой базы нанесено наибольшее количество размеров. За вспомогательные конструкторские базы приняты два других торца.
Список литературы
1. Сборник стандартов ЕСКД. М., Издательство стандартов, 1983
2. Федоренко В. А., Шошин А. И. Справочник по машиностроительному черчению.14-е издание, перераб., и доп. Л.:, Машиностроение, 1982, 416 с.
Учебно-методическое издание
Владимир Николаевич Аверин,
Ирина Фёдоровна Куколева
НАНЕСЕНИЕ РАЗМЕРОВ НА ЧЕРТЕЖАХ
Методические указания к практическим занятиям
по инженерной графике
______________________________________________________
Формат 60´84 1/16. Изд. № –
Подписано к печати – Заказ №
Усл. печ. л. – Тираж 1000 экз. ______________________________________________________
127994, Москва, ул. Образцова, 15. Типография МИИТ
Математические игры по составлению плоскостных фигур-силуэтов из геометрических фигур используются с давних времен. Наиболее популярными из этих игр являются «Танграм», «Волшебный круг», «Колумбово яйцо». Квадрат, круг, овал разрезаются на несколько частей, из которых можно сложить разнообразные сюжетные фигуры. Они вызывают интерес у детей необычностью и занимательностью, требуют умственного и волевого напряжения, способствуют развитию пространственных представлений, творческой инициативы, смекалки, сообразительности.
ПРАВИЛА ИГРЫ
- Использовать для составления каждой фигуры все части квадрата, круга, овала.
- Соединять их только по граням, чтобы они плотно примыкали одна к другой.
- Не допускать наложения одной части на другую.
ЭТАПЫ ОБУЧЕНИЯ ДЕТЕЙ ИГРАМ
Обучение детей играм «Тантрам», «Волшебный круг»,
«Колумбово яйцо» должно проводиться последовательно, с учетом индивидуальных способностей ребенка.
1 этап. Ознакомление детей с игрой: сообщение названия, рассматривание отдельных частей, уточнение их названия, соотношение частей по размерам, усвоение способов соединения их между собой.
Дети должны знать и уметь практически выделять отличительные признаки геометрических фигур (треугольников, четырехугольников, круга, овала), при условии различного расположения их в пространстве. Можно поупражнять детей в создании разнообразных новых геометрических фигур из фигур данного набора.
Дети должны иметь необходимые практические навыки в трансфигурации геометрических фигур (соединении нескольких фигур в целях создания новой). После ряда таких упражнений можно переходить ко второму этапу.
2 этап. Составление сюжетных фигур по элементному изображению предмета.
Составление предметных фигур по элементному изображению состоит в механическом подборе, копировании способа расположения частей игры. Необходимо внимательно рассмотреть образец, назвать составные части, их расположение и соединение. Такой- способ не позволяет ребенку проявить творчество, самостоятельность, поэтому долго задерживаться на данном этапе нежелательно. Достаточно предложить детям 2-8 силуэта н переходить к следующему этапу.
3 этап. Составление сюжетных фигур по частичному элементному изображению. Детям предлагаются образцы, на которых указано место расположения однойдвух составных частей, остальные они должны расположить самостоятельно. Дети могут накладывать части на образец, учитывая направление линий контура, пропорциональное соотношение. Ребенок самостоятельно ищет способы составления силуэта- Методом проб и ошибок он добивается необходимого результата.
4 этап. Составление сюжетных фигур по контурному, или силуэтному, образцу.
На этом этапе ребенок должен научиться зрительно дифференцировать направление линий силуэта (контура) составляемой фигуры. В процессе предварительного анализа образца он должен зрительно расчленить сложную фигуру на составляющие элементы. После чего практически проверить свое предположение. Для детей подобный процесс воссоздания является сложным, вызывает активную работу мысли, воображения
На этом этапе очень важна помощь взрослого. Если ребенок затрудняется в составлении сюжетной фигуры, необходимо обратить его внимание на направление и соотношение линий, общее строение, форму изображенного на образце предмета, указать место расположения некоторых частей. По мере усвоения детьми способов и приемов составления различных сюжетных фигур у них появляется желание создать что то свое. Переход ребенка к построению фигур по замыслу - яркое проявление творческих способностей, самостоятельности, гибкости ума, смекалки и сообразительности.
Фигуры, составленные из частей игры «Танграм»
Фигуры, составленные из частей игры «Волшебный круг»
Фигуры, составленные из частей игры
«Колумбово яйцо»
«Танграм» «Волшебный круг» «Колумбово яйцо»
Танграм
Эта игра представляет собой набор из семи геометрических фигур - частей квадрата. Квадрат, одинаково окрашенный с обеих сторон, разрезается, строго следуя определенным правилам, на семь частей. При этом получается 5 прямоугольных треугольников разных размеров: 2 больших (на рисунке обозначены цифрой 1),
1 средний (на рисунке обозначен цифрой 2), 2 маленьких {на рисунке обозначены цифрой 3); 1 квадрат (на рисунке обозначен цифрой 4);
1 параллелограмм (на рисунке обозначен цифрой 5).
СОСТАВЛЕНИЕ ПРЕДМЕТНЫХ ФИГУР ПО ЭЛЕМЕНТНОМУ ИЗОБРАЖЕНИЮ
Зайчик
Кошка
ВОИН Елка
СОСТАВЛЕНИЕ ПРЕДМЕТНЫХ ФИГУР
ПО ЧАСТИЧНОМУ ЭЛЕМЕНТНОМУ ИЗОБРАЖЕНИЮ
СОСТАВЛЕНИЕ ФИГУР ПО КОНТУРНОМУ ИЛИ СИЛУЭТНОМУ ОБРАЗЦУ
Петушок Кораблик самолет Корова
Волшебный круг
Круг, одинаково окрашенный с обеих сторон, разрезается
на 10 частей. В результате получается 4 одинаковых треугольника (на рисунке обозначены цифрой 1); остальные части, попарно равные между собой, имеют сходство с фигурами треугольной формы, но одна из сторон у них закруглена (на рисунке обозначены цифрой 2).
ВОИН РАКЕТА ШУТ
СОСТАВЛЕНИЕ ФИГУР
БАРЫНЯ КИТ
СОСТАВЛЕНИЕ ФИГУР
ПО КОНТУРНОМУ, ИЛИ СИЛУЭТНОМУ ОБРАЗЦУ РАК ЛИЛИЯ
Колумбово яйцо
Овал, одинаково окрашенный с обеих сторон, разрезается так, как показано на рисунке. В результате получается 10 частей. Четыре - геометрические фигуры: 2 маленьких и 2 больших треугольника (на рисунке обозначены цифрой 1). Остальные 6 имеют лишь сходство с геометрическими фигурами: 4 - с треугольниками, но одна из сторон у них закруглена (на рисунке обозначены цифрой 2); 2 части - с четырехугольниками, но одна из сторон у них закруглена (на рисунке обозначены цифрой 3).
СОСТАВЛЕНИЕ ФИГУР ПО ЭЛЕМЕНТНОМУ ИЗОБРАЖЕНИЮ
ОЛЕНЬ
ВОИН
СОСТАВЛЕНИЕ ФИГУР
ПО ЧАСТИЧНОМУ ЭЛЕМЕНТНОМУ ИЗОБРАЖЕНИЮ
При создании статичных чертежей специфические возможности «Математического конструктора» используются лишь в небольшой степени. Мы уже отметили ключевую особенность построений в среде динамической геометрии: любые чертежи в «Математическом конструкторе», в отличие от начерченных на бумаге или на классной доске, относятся не к индивидуальной геометрической фигуре, а к целому непрерывному семейству фигур.
2.1. Совершаем открытие
Ученика вряд ли удивит, что при деформации треугольника луч, построенный как биссектриса его угла, всегда будет делить этот угол пополам – ведь именно так этот луч и построен. Но если провести все три биссектрисы, то мы увидим, что они будут всегда пересекаться в одной точке, хотя эту точку мы и не строили – она возникла «сама». А это уже маленькое геометрическое открытие!
И такое открытие может перевернуть весь ход урока – от заунывного изложения «фактов», пусть даже сопровождаемого пассивным иллюстрированием, вы переходите к активному стимулированию творческого потенциала учеников, развиваете в них навык видеть, формулировать и понимать геометрические закономерности, существенно увеличиваете степень эмоциональной вовлеченности и запоминаемость изучаемого материала. Вот более сложная модель такого типа.
2.2. Ставим численный эксперимент
Все расстояния, углы и площади в «Математическом конструкторе» легко измеряемы. Это позволяет проводить численные экспериментальные наблюдения, которые могут вести к самостоятельному открытию тех или иных фактов.
2.3. Открываем «чёрный ящик»
Нравятся ученикам и задания типа «черный ящик», в которых, наблюдая за изменениями одних элементов чертежа при перемещении других элементов, учащиеся должны разгадать скрытый связывающий их «механизм». Например: дана фигура и ее образ при некотором движении. Требуется указать вид движения и его параметры.
 |
Отгадай преобразование |
2.4. Выбираем правильный ракурс
Специфическим классом задач, в которых манипулирование компьютерной моделью предоставляет ученику качественно новые возможности, являются стереометрические чертежи. Развитие пространственного воображения – одна из важнейших целей при изучении стереометрии. Нередко в стереометрической задаче достаточно взглянуть на пространственную конструкцию с нужной точки – и принцип решения станет понятен без долгих объяснений.
 |
Сечение тетраэдра |
2.5. Ищем экстремум
Изменчивость динамических моделей даёт возможность исследовать различные граничные и экстремальные ситуации. Предположим, например, что вы построили треугольник по трём заданным сторонам. Вы начинаете менять их длины, и треугольник вдруг исчезает. Это естественным образом приводит к важному вопросу об условии, при котором треугольник с заданными длинами сторон существует.
В примере ниже представлена знаменитая задача Герона о кратчайшем пути, который начинается в заданной точке, достигает заданной прямой и заканчивается в другой точке, лежащей по ту же сторону от прямой, что и первая. Студенты должный найти решение с помощью численного эксперимента. В случае затруднения они могут воспользоваться подсказками.
 |
Задача Герона |
2.6. Исследуем геометрическое место точек
В «Математическом конструкторе» имеется возможность исследования геометрического места точек. Изучать возможные положения точек можно как при помощи рисования растрового следа точек, так и создавая специальный объект – Геометрическое место точек (ГМТ). Возможность динамического исследования ГМТ открывает новую обширную область для экспериментов и исследования – разнообразные кривые. Преимущества, которые здесь обеспечивает компьютер, очевидны.
Мы смоделировали известную задачу о «котенке на лестнице». Модель позволяет не только увидеть траекторию точки на отрезке постоянной длины, скользящем своими концами по сторонам прямого угла (эллипс), но и проследить за ее эволюцией при изменении положения точки. Когда точка в середине отрезка эллипс превращается в окружность, что несложно доказать.
